CERCUL

În geometria euclidiană, cercul este mulțimea tuturor punctelor din plan, egal depărtate de un punct fix numit centru. Distanța comună este denumită de obicei raza cercului.

Cercurile sunt curbe simple închise, care separă astfel planul în două regiuni, interior și exterior.

Un cerc este un caz particular de elipsă, în care lungimile axelor sunt egale (și deci cele două focare se confundă). Astfel, cercurile sunt, ca și elipsele, conice; mai precis sunt secțiuni ale unui con circular drept cu un plan perpendicular pe axa acestuia.

Aria discului de cerc

{\displaystyle A=\pi \cdot r^{2}={\frac {\pi \cdot d^{2}}{4}}} $A=\pi \cdot r^{2}={\frac {\pi \cdot d^{2}}{4}}$

unde A este aria cercului, r este raza cercului, d este diametrul cercului, {\displaystyle \pi } $\pi$ este o constantă matematică.

Circumferința cercului

{\displaystyle c=\pi D=2\pi \cdot r} $c=\pi D=2\pi \cdot r$

Aria unui sector de cerc

{\displaystyle A_{sect}={\frac {\pi \cdot r^{2}\cdot n}{360}}} $A_{sect}={\frac {\pi \cdot r^{2}\cdot n}{360}}$

unde A_sect este aria sectorului de cerc, r este raza cercului, n este măsura unghiului sectorului de cerc măsurat in grade, iar {\displaystyle \pi } $\pi$ este o constantă matematică.

Lungimea unui arc de cerc

{\displaystyle L_{arc}={\frac {\pi \cdot r\cdot n}{180}}} $L_{arc}={\frac {\pi \cdot r\cdot n}{180}}$

unde L_arc este lungimea arcului de cerc, r este raza cercului, n este măsura unghiului sectorului de cerc măsurat în grade, iar {\displaystyle \pi } $\pi$ este o constantă matematică.

Ecuații

Coordonate carteziene

Cerc cu raza r = 1, centru (a, b) = (1.2, -0.5)

Într-un sistem de coordonate x-y, cercul cu centrul (a, b) și raza r reprezintă mulțimea tuturor punctelor (x, y) astfel încât{\displaystyle \left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}=r^{2}.} $\left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}=r^{2}.$

Această ecuație rezultă din teorema lui Pitagora aplicată la orice punct de pe circumferința: raza este ipotenuza unui triunghi dreptunghic, a cărui catene au lungimile x – a și y – b. Dacă cercul are centrul în origine (0, 0), atunci ecuația se simplifică la{\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}.\!\ } $x^{2}+y^{2}=r^{2}.\!\$

Această ecuație poate fi scrisă și parametric folosind funcțiile trigonometrice sinus și cosinus:{\displaystyle x=a+r\,\cos t,\,\!} $x=a+r\,\cos t,\,\!$ {\displaystyle y=b+r\,\sin t\,\!} $y=b+r\,\sin t\,\!$

unde t este o variabilă parametrică, fiind interpretată geometric ca unghiul format de raza care unește punctul (x,y) cu originea (0,0) cu axa x. O parametrizare rațională este:{\displaystyle x=a+r{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}} $x=a+r{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}$ {\displaystyle y=b+r{\frac {2t}{1+t^{2}}}.} $y=b+r{\frac {2t}{1+t^{2}}}.$

În coordonate omogene, fiecare secțiune conică cu ecuația cercului este de forma:{\displaystyle \ ax^{2}+ay^{2}+2b_{1}xz+2b_{2}yz+cz^{2}=0.} $\ ax^{2}+ay^{2}+2b_{1}xz+2b_{2}yz+cz^{2}=0.$

Poate fi demonstrat că o secțiune conică poate fi un cerc doar dacă punctele I(1: i: 0) și J(1: −i: 0) sunt în secțiunea conică. Aceste puncte mai sunt numite puncte circulare la infinitate.

Coordonate polare

În coordonate polare, ecuația cercului este:{\displaystyle r^{2}-2rr_{0}\cos(\theta -\varphi )+r_{0}^{2}=a^{2}\,} $r^{2}-2rr_{0}\cos(\theta -\varphi )+r_{0}^{2}=a^{2}\,$

unde a este raza cercului, r₀ este distanța de la origine la centrul cercului, și φ este unghiul măsurat trigonometric de la axa x la linia care conectează originea cu centrul cercului. Pentru un cerc cu centrul în origine, r₀ = 0, aceasta se reduce la r = a. Cand r₀ = a, sau când originea este pe cerc, ecuația devine{\displaystyle r=2a\cos(\theta -\varphi )} $r=2a\cos(\theta -\varphi )$ .

În cazul general, ecuația poate fi rezolvată pentru r:{\displaystyle r=r_{0}\cos(\theta -\varphi )+{\sqrt {a^{2}-r_{0}^{2}\sin ^{2}(\theta -\varphi )}}} $r=r_{0}\cos(\theta -\varphi )+{\sqrt {a^{2}-r_{0}^{2}\sin ^{2}(\theta -\varphi )}}$ ,

soluția cu un semn minus în fața rădăcinii pătrate având aceeași curbă.